Ley de Gauss



Carl Friedrich Gauss en 1867 publicó la ley, conocida como teorema de Gauss, la cual establece que el flujo de campo eléctrico  a través de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dicho campo que hay en el interior de dicha superficie.

\(\Phi_E\propto Q\)

Donde: \(\Phi\) es   el flujo eléctrico  y \(Q\) la carga en el interior de una supeficie cerrada.

 Es una de los cuatro ecuaciones de Maxwell, que forman la base de electrodinámica clásica.

La ley de Gauss establece que: el flujo de campo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica encerrada por dicha superficie.

Una superficie cerrada se define como la región que divíde el espacio entre una región interior y una exterior, de forma tal que no se puede pasar de una región a la otra sin cruzar dicha superficie.

Para el caso de una carga,  el flujo a través de una superficie esférica (superficie cerrada llamada gaussiana) es:
\(\phi=EA=E(4\pi r^2)\), despejando el campo eléctrico: \(E=\dfrac{\phi}{4\pi r^2}\).

Por la ley de Gauss este flujo es: \(\phi = \dfrac {q}{\epsilon_0}\), por lo tanto:

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{ r^2} =k\dfrac{q}{ r^2}$ 

Superficie cerrada (gaussiana) que encierra una carga positiva


Campo eléctrico de algunas distribuciones de carga


Alambre  con carga distribuida en forma uniforme


\(E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}\)

Con:
\(\lambda=\) densidad de carga del alambre.
Esfera solida cargada uniformemente
\(E= \dfrac{Qr}{4\pi\epsilon_0a^3} , r\leq a\)

\(E=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2},   r\geq a\)
Placa cargada uniformemente


\(E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)

Con:
\(\sigma=\) densidad de carga de la placa.


Un ejemplo importante es el  de dos placas paralelas, con la misma densidad de carga, pero de diferente signo.

Lo que se hace es aplicar el ejemplo de con una placa y superponer el resultado:

Entre las placas:
\(E= \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\)

Fuera de las placas:
\(E=0\)


Problema:


Una esfera metálica hueca tiene radio interior  \(a\)  y radio exterior  \(b\),  como muestra la figura:



Encuentra  el campo eléctrico  en las regiones I, II y III sabiendo que hay una carga \(q\) en el centro.