Producto escalar y vectorial


A diferencia de los escalares, los vectores pueden  multiplicarse de dos formas diferentes: el producto escalar y el producto vectorial.

El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.

 \(\vec A=(a_x,a_y),
\vec B=(B_x,B_y)\)
\(\vec A \cdot \vec B =A_xB_x+A_yB_y\)

También:

\(\vec A \cdot \vec B=ABcos \theta\)
\(\theta =\)ángulo entre los vectores.


Observa que cuando los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es  de 90°, su producto escalar es cero.


 El producto vectorial es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene otro vector, con la característica de ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.

\(\vec U=(u_x,u_y,u_z)\)
\(\vec V=(v_x,v_y,v_z)\)

\(\|\vec U \times \vec V\|= UVsen \theta\)

\(\theta =\) ángulo entre los vectores.


En coordenadas cartesianas, el  producto vectorial  se define como:

\(\vec U \times \vec V=\begin{vmatrix}
\widehat{i} &\widehat{j}  &\widehat{k} \\ 
u_x &u_y  &u_z \\
v_x& v_y &v_z
\end{vmatrix}=(u_yv_z-v_yu_z)\hat i-(u_xv_z-v_xu_z)\hat j+(u_xv_y-v_xu_y)\hat k\)

Observación: una aplicación del producto vectorial es que su magnitud numéricamente igual al área del paralelogramo definido por los vectores (observa el área sombreada en la animación).


Ejemplo

Considera los vectores: \(\vec U=(3, 2, -1), \space \vec V=(-2, 4, 0)\), encuentra su producto vectorial.

\(\vec U \times \vec V=\begin{vmatrix}
\widehat{i} &\widehat{j}  &\widehat{k} \\
3 &2  &-1 \\
-2& 4 &0
\end{vmatrix}\)

\(=\widehat{i}[(2)(0)-(4)(-1)]-\widehat{j}[(3)(0)-(-2)(-1)]+\widehat{k}[(3)(4) -(-2)(2)]\\
=4\widehat{i}+2\widehat{j}+16\widehat{k}\\
=(4, 2, 16)\)



Animación
Producto vectorial, puedes arrastrar y modificar los vectores. Puedes rotar la figura y observar la perspectiva de las  tres dimensiones. Si deseas actualizar la página, utiliza el botón de abajo.


Crédito  Nykamp DQ, “Cross product.” (Educativo)