Suma, resta y multiplicación por escalar


  Gráficamente la suma o RESULTANTE de varios vectores, se obtiene uniendo sucesivamente los extremos y orígenes de ellos (sin modificar las direcciones y sentidos), como se muestra en la animación. El vector suma o RESULTANTE se obtiene uniendo el primer origen con el último extremo. Cuando sólo hay dos vectores este procedimiento produce un triángulo formado por los vectores y la resultante.


Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes y trazar líneas auxiliares paralelas a los vectores, que pasen por el extremo del otro. La resultante es el vector que  une los orígenes comunes con la intersección de las paralelas auxiliares (método del paralelogramo).
Con respecto a la resta, claramente se tiene que \(\vec A - \vec B\) es la suma de \(\vec A\) y el opuesto de \(\vec B\).

$\vec A - \vec B = \vec A + (-\vec B)$

Animación

Cuatro vectores arbitrarios, puedes modificarlos moviendo los puntos rojos, y con el deslizador los sumas. Observa que cuando arrastras  los vectores no se altera la resultante. Con el icono de arriba a la derecha reinicias la aplicación.




Multiplicación de un vector por un  escalar


El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector y en caso de ser negativo cambia también el sentido.
 La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.
prod

Casos especiales de suma de dos vectores

a) Cuando los vectores forman un ángulo de 90° entre ellos, se suman utlizando el teorema de Pitagoras:

$R=\sqrt{a^2+b^2}$

$\alpha=atan \{\dfrac{b}{a}\}$



a) Cuando los vectores forman un ángulo arbitrario  entre ellos, se suman utlizando el la ley de cosenos y de senos.

$R^2=a^2+b^2-2bcCos\beta$

$\dfrac{sen \alpha}{a} =\dfrac{sen \beta}{b}$
\(\downarrow\)
$\alpha=sen^{-1}(\dfrac{aSen \beta}{b})$


Suma, resta y multiplicación por escalar. Forma analítica

Sumar (restar) dos vectores en forma cartesiana es muy simple, sólo suman (restan) sus componentes.

Sean: \(\vec a=(a_x,a_y)\), \(\vec b=(b_x,b_y)\),  y \(r\) un escalar, entonces:

  • \(\vec a+\vec b=(a_x+b_x,a_y+b_y)=(a_x+b_x)\hat i+(a_y+b_y)\hat j\)
  • \(\vec a-\vec b=(a_x-b_x,a_y-b_y)=(a_x-b_x)\hat i+(a_y-b_y)\hat j\)
  • \(r\vec a=(ra_x,ra_y)=ra_x\hat i+ra_y\hat j\)

Ejemplo:
\(\vec A=(3, 2),\space \vec B=(-2, 4)\)

\(\vec A+\vec B= (3+(-2), 2+4)=(1, 6)=\hat i+6\hat j\)

\(\vec A-\vec B=(3-(-2), 2-4)=(5, -2)=5\hat i-2\hat j\)

Para \(\lambda=3\)

\(\lambda\vec A=(3)(3, 2)=(9, 6)=9\hat i+2\hat j\)


Sumar (restar) dos vectores en forma polar es un poco más laborioso, primero los tienes que transformar a su forma cartesiana, sumar, y regresar a la forma polar.

Ejemplo:
\(\vec A=(3; 45°),\space \vec B=(5; 60°)\)

Transformo a cartesiano:

\(\vec A= (3cos(45°),3sen(45°))= (2.12,2.12)\)
\(\vec B= (4cos(60°),4sen(60°))= (2,3.46)\)

Suma:

\(\vec A+\vec B=(2.12+2,2.12+3.46)=(4.12,5.58)\)

Magnitud y ángulo del vector resultante:

\(A+B=\sqrt{4.12^2+5.58^2}=6.91\)

\(\alpha=angtan(5.58/4.12)=53.56°\)